Relasi dan fungsi

Materi Relasi Dan Fungsi Lengkap Dalam Matematika

MK logika informatika" setelah kemarin membahas tentang himpunan kita lanjut ke relasi dan fungsi yang masih berkaitan dengan materi himpunan. Materi himpunan, relasi, dan fungsi pertama kali diperkenalkan kepada peserta didik saat menjejakkan kaki dibangku pendidikan kelas 8 SMP, kemudian kelas XI SMA, dan pengulangan di universitas terutama jurusan matematika dan komputer, dan lain-lain.

A. Relasi

Secara etimologis relasi berasal dari bahasa Inggris, yaitu relate yang berarti menghubungkan atau memasangkan. Dengan demikian dapat diartikan bahwa relasi merupakan hubungan antara dua atau lebih objek yang memiliki kesamaan atau memiliki sebab dan alasan untuk dapat dihubungkan.

Jika dua himpunan tidak memiliki dasar yang tepat untuk dihubungkan maka kedua himpunan tersebut bukan relasi, karena tidak memiliki alasan untuk dapat dipasangkan.

Dalam matematika, relasi umumnya terdiri dari dua himpunan, yaitu himpunan A dan himpunan B. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Contoh relasi antara himpunan A dan himpunan B

A={Wanda, Simon, Asri, Risky, Ripai}
B={Pink, hijau, biru, kuning}

Dari data himpunan di atas, dapat diketahui bahwa:

Himpunan A merupakan himpunan nama orang
Himpunan B merupakan himpunan warna

Himpunan A dan himpunan B dapat dikatakan sebagai relasi karena memiliki sebab dan alasan yang dapat menghubungkan antara himpunan A dan himpunan B, yaitu warna favorit.

Berdasarkan survei yang dilakukan, relasi antara himpunan A ke himpunan B di atas adalah sebagai berikut.

-Wanda warna favoritnya adalah pink

-Simon warna favoritnya adalah hijau

-Asri warna favoritnya adalah pink

-Risky warna favoritnya adalah kuning

-Ripai warna favoritnya adalah biru dan kuning

Dari survei di atas, kita sudah mengetahui warna favorit masing-masing nama. Namun cara penyajian relasi seperti yang diuraikan di atas kurang efisien dan terkesan berputar-putar. Untuk mengatasi masalah tersebut, kita dapat menggunakan metode penyajian relasi yang lebih efektif.

B. Cara penyajian relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan dengan 3 cara, yaitu dengan menggunakan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

1. Penyajian relasi diagram panah

Penyajian relasi dengan diagram panah menggunakan arah anak panah untuk menyatakan relasi antara dua himpunan. Contoh penyajian relasi dengan diagram panah yang menghubungkan antara himpunan A ke himpunan B.

2. Penyajian relasi diagram cartesius

Penyajian relasi dengan diagram cartesius menggunakan noktah (•) sebagai titik temu untuk menyatakan relasi atau hubungan antara dua himpunan. Pada dasarnya, himpunan A sebagai himpunan pertama di tempatkan pada sumbu X atau sumbu mendatar (horizontal) dan himpunan B sebagai himpunan yang dipasangkan di tempatkan pada sumbu Y atau sumbu tegak (vertikal).

Contoh penyajian relasi dengan diagram cartesius yang menghubungkan antara himpunan A ke himpunan B.

3. Penyajian relasi himpunan pasangan berurutan

Sesuai dengan namanya, penyajian relasi dengan himpunan pasangan berurutan dilakukan dengan cara mendaftarkan secara berurutan relasi dua himpunan. Contoh penyajian relasi dengan himpunan pasangan berurutan.

R={(Wanda, pink), (Simon, hijau), (Asri, pink), (Risky, kuning), (Ripai, biru), (Ripai, kuning)}

C. Fungsi atau pemetaan

Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang spesifik menghubungkan setiap satu anggota himpunan dengan tepat terhadap himpunan anggota lainnya.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat ke satu anggota himpunan B.

Berdasarkan gambar di atas, f merupakan suatu fungsi dari A ke B, maka:

Himpunan A disebut domain atau daerah asal
Himpunan B disebut kodomain atau daerah kawan
Himpunan nilai adalah hasil dari pemetaan disebut range atau daerah hasil

Contoh fungsi atau pemetaan

Dari diagram panah di atas, dapat diketahui bahwa f merupakan suatu fungsi dari A ke B:

Domain (Df) adalah A = {1,2,3}
Kodomain adalah B = {1,2,3,4}
Range Hasil (Rf) adalah = {2,3,4}

D. Grafik fungsi

Grafik fungsi adalah grafik yang menggambarkan bentuk suatu fungsi dalam diagram cartesius. Grafik ini diperoleh dengan menghubungkan noktah-noktah yang merupakan pasangan berurutan antara daerah asal atau domian (sumbu x) dan daerah hasil atau kodomain (sumbu y).

E. Menghitung nilai dari sebuah fungsi

1. Notasi Fungsi

Notasi fungsi ditulis dengan huruf kecil seperti f dan g. Bentuk-bentuk suatu fungsi secara umum dapat dinyatakan dengan notasi berikut.

f : A → B ditentukan dengan notasi f(x).
g : C → D ditentukan dengan notasi g(x).

Cara memetakan fungsi

Jika fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B memiliki aturan f : x → 3x + 2, maka:

x merupakan anggota domain (daerah asal)
x → 3x + 2 berarti fungsi f memetakan x ke 3x + 2
3x + 2 merupakan daerah bayangan x oleh fungsi f
sehingga diperoleh notasi f(x) = 3x +2

Rumus:
Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f, maka rumus fungsi f adalah f(x) = ax + b

2. Menghitung nilai Fungsi

Contoh cara menghitung nilai fungsi

Jika fungsi f : x → 4x – 2, dengan x anggota bilangan bulat, maka tentukanlah:

Penyelesaian

Diketahui
fungsi f : x → 4x – 2 memiliki rumus f(x)=4x - 2

a. f(1)

Jawab
f(x)=4x - 2
f(1)=4(1) - 2= 2

b. f(2)

Jawab
f(x)=4x - 2
f(2)=4(2) - 2= 6

c. f(3)

Jawab
f(x)=4x - 2
f(3)=4(3) - 2= 10

d. f(4)

Jawab
f(x)=4x - 2
f(4)=4(4) - 2= 14

e. Bayangan (–3) oleh f

Jawab
Bayangan (-3) oleh f sama dengan f (-3)
f(x)=4x - 2
f(-3)=4(-3) - 2= -14

f. Nilai f untuk x = –4

Jawab
f(x)=4x - 2
f (–4) = 4(–4) – 2 = –18

g. Nilai x untuk f (x) = 14

Jawab
4x – 2 = 14
4x = 14 + 2
4x = 16
x = 4

h. Nilai a jika f (a) = 26

Jawab
4a – 2 = 26
4a = 26 + 2
4a = 28
a = 7

3. Menentukan Rumus fungsi

Rumus suatu fungsi dapat ditentukan jika terdapat nilai dari data yang diketahui.

Contoh cara mencari rumus suatu fungsi

Fungsi f yang berlaku pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus f(x) = ax + b, dengan a dan b adalah bilangan bulat. Jika f(-2) = -6 dan f(1) = 9. Maka tentukan nilai dari:

Penyelesaian

Diketahui:
Rumus : f(x) =ax + b
f(-2) = -6
f(1) = 9

Tentukanlah:

a. Nilai dari a dan b?

Jawaban

-Buat persamaan masing-masing fungsi terlebih dahulu

f(–2) = –6
f(–2) = a(–2) + b = –6
–2a + b = –6 …(persamaan 1)

f(1) = 9
f(1) = a(1) + b = 9
a + b = 9
b = 9 – a …(persamaan 2)

-Subtitusi hasil persamaan 2 ke persamaan 1

–2a + b = –6
–2a + (9 – a) = –6
–2a + 9 – a = –6
–3a + 9 = –6
–3a = –15
a = 5

-Substitusikan nilai a = 5 ke persamaan 2

b = 9 – a
b= 9 – 5
b = 4

Jadi, nilai a sama dengan 5 dan nilai b sama dengan 4.

b. Rumus fungsi?

Jawaban:
Oleh karena nilai a = 5 dan nilai b = 4, maka rumus:

f(x) = ax + b berubah menjadi f(x) = 5x + 4.

Jadi, rumus fungsinya adalah f(x) = 5x + 4.

c. f (-3)

f(x) = 5x + 4
f(-3)= 5(-3) + 4
f(-3) = 5(-3) + 4
f(-3) = -11

F. Contoh soal-soal relasi dan fungsi beserta jawabannya

Untuk lebih memahami konsep materi tentang relasi dan fungsi, berikut beberapa contoh relasi dan fungsi lengkap dengan jawabannya.

1. Perhatikan himpunan data-data berikut!

A={1, 2, 3, 4}
B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Jika suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x)=2x-1, maka tentukan:

a. Tentukan range fungsi f

Jawab
Range atau hasil dari fungsi f

f(x) = 2x-1

Himpunan A={1, 2, 3, 4} di pasangkan ke Himpunan B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} menghasilkan fungsi sebagai berikut.

f(1) = 2.(1)-1 = 1
f(2) = 2.(2)-1 = 3
f(3) = 2.(3)-1 = 5
f(4) = 2.(4)-1 = 7

b. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah!

Jawab
Gambar fungsi f dengan diagram panah

c. Gambarlah grafik fungsi f dengan diagram cartesius!

Jawab
Gambar grafik fungsi f dengan diagram cartesius

2. Perhatilan himpunan data-data berikut ini!

X = {2, 3, 4}
Y = {2, 4, 8, 9, 15}

Jika fungsi f : X → Y ditentukan dengan hasil nilai X habis membagi Y, maka tentukanlah:

Penyelesaian :

Rumus fungsi f : X → Y sama dengan f(a) = Y / X

Pada tahap pertama, kita akan mencari anggota himpunan Y yang habis dibagi anggota himpunan X.

f(a) = Y / X

f(2) = 2 / 2 = 1
f(4) = 4 / 2 = 2
f(8) = 8 / 2 = 4

f(9) = 9 / 3 = 3
f(15) = 15 / 3 = 5

f(4) = 4 / 4 = 1
f(8) = 8 / 4 = 2

Setelah kita tahu anggota X yang habis membagi anggota Y, maka penyajian relasi akan lebih mudah dilakukan.

a. Fungsi f dengan diagram panah

Jawab
Gambar fungsi f dengan diagram panah

b. Fungsi f dengan diagram cartesius

Jawab
Gambar fungsi f dengan diagram cartesius

3. Fungsi g yang berlaku pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus g(x) = a + bx dengan a dan b adalah bilangan bulat. Jika g(2) = -6 dan g(1) = 9, maka tentukanlah:

a. Nilai dari a dan b

-Langkah pertama kita akan buat persamaan untuk kedua fungsi yang telah diketahui.

g(x) = a + bx

g(2) = -6
g(2) = a + b(2) = -6
-6 = a + 2b
a + 2b = -6 …Persamaan (1)

g(1) = 9
g(1) = a + b(1) = 9
9 = a + b
b = a - 9 …Persamaan (2)

-Substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1

a + 2b = -6
a + 2(a - 9) = -6
a + 2a - 18 = -6
3a - 18 = -6
3a = 12
a = 4

b = a - 9
b = 4 - 9
b = -5

-Jadi, nilai a = 4 dan b = -5

b. Rumus fungsi g(x) = a + bx

Jawab
g(x) = a + bx
g(x) = 4 - 5x

c. Tentukan hasil fungsi dari g(11)

Jawab
g(x) = 4 - 5x
g(11) = 4 - 5(11)
g(11) = -51

4. Diketahui suatu data sebagai berikut.

A={x | -3 < x ≤ 2, x ∑ R} f : A → B didefinisikan dengan rumus f(x)= x² + 1 Tentukan daerah hasil dari fungsi f dan gambarkan diagram panah beserta dengan diagram cartesiusnya! Jawab -Pertama-tama, cari dahulu anggota himpunan A A={x | -3 < x ≤ 2, x ∑ R} A={-2, -1, 0, 1, 2} a. Hasil dari fungsi f

f(x)= x² + 1

f(-2)= (-2)² + 1 = 5
f(-1)= (-1)² + 1= 2
f(0)= (0)² + 1 = 1
f(1)= (1)² + 1 = 2
f(2)= (2)² + 1 = 5

b. Gambar diagram panah

c. Gambar diagram cartesius

Demikianlah artikel tentang kumpulan materi relasi dan fungsi lengkap dengan contoh soal dan jawabannya. Dengan selesainya materi relasi dan fungsi, maka kita telah melalui dua materi pertama dalam mata kuliah logika informatika semester 1, yaitu logika matematika dan himpunan>. Semoga bermanfaat!