Ekuivalensi

MK logika informatika" tidak terasa kita sudah sampai di materi ekuivalensi. Materi ekuivalensi merupakan part yang ke-4 dalam materi logika matematika setelah materi pernyataan (proposisi), operator logika, dan tabel kebenaran.

D. Ekuivalensi

Pengertian ekuivalen

Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama. Pernyataan majemuk adalah pernyataan setara yang terdiri dari dua atau lebih pernyataan.

Pengertian ekuvalensi logis

Dua pernyataan disebut ekuivalen logis (secara logika) jika dan hanya jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua subtitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Lambang Ekuivalen (≡)

Pernyataan majemuk yang ekuivalen dapat ditulis sesuai dengan contoh di bawah ini:

Contoh ekuivalen:

1. ~(p \/ q) ≡ ~p /\ ~q

2. ~ A \/ ~B ≡ ~( A /\ B )

Pada kedua contoh di atas disebut ekuivalen tetapi belum dapat dikatakan sebagai ekuivalensi logis.

Agar menjadi ekuivalensi logis kita dapat menambah atau mengurangi perangkai sehingga menghasilkan salah satu sifat dari ekuivalensi logis. Ekuivalensi logis adalah ekuivalensi yang memiliki sifat-sifat tertentu, seperti tautologi, kontradiksi, dan kontingen.

For example, pada contoh ekuivalen nomor 2 di atas, akan berubah menjadi ekuivalensi logis jika dihubungkan dengan perangkai bi-implikasi (ekuivalensi yang bersifat tautologi).

Ekuivalen Logis

Suatu pernyataan majemuk yang ekuivalen secara logis dapat di tulis dengan:

( A /\ B ) ≡ ( B /\ A )

Suatu ekspresi logika disebut ekuivalen logis jika memiliki salah satu dari tiga sifat di bawah ini:

1. Bersifat tautologi

Ekuivalensi yang bersifat tautologi yaitu pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar/true atau T dan T dalam tabel kebenaran. Contoh pernyataan tautologi adalah:

(p ʌ q) => q

(p ʌ ~q) => p (Buktikan sendiri apakah pernyataan ini memang benar equivalensi logis dengan sifat tautologi)

2. Bersifat kontradiksi

Ekuivalensi yang bersifat kontradiksi yaitu pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah/false atau F dan F dalam tabel kebenaran. Contoh pernyataan kontradiksi adalah:

p ʌ (~p ʌ q)

(p ʌ ~p) (Buktikan sendiri apakah kedua pernyataan tersebut bersifat kontradiksi)

3. Bersifat kontingen

Ekuivalensi yang bersifat kontingen yaitu jika T dan F atau sebaliknya tetap pada urutan yang sama pada tabel kebenaran.

Hukum-hukum ekuivalensi logika

1. Hukum komutatif

Ciri-cirinya hukum komutatif:

1. Variabel kedua proposisi dapat saling berganti tempat tanpa mengubah nilai kebenaran dari kedua ekspresi.

contoh:

( A /\ B ) ≡ ( B /\ A)
( A ↔ B ) ≡ ( B ↔ A )

2. Perangkai Konjungsi ( /\ ), Disjungsi (\/) dan Ekuivalensi ( ↔ ) bersifat komutatif

3. Perangkai Implikasi ( → ) tidak bersifat komutatif dengan dibuktikan dari tabel kebenaran

Example: ( A → B ) dengan ( B → A ) TIDAK EKUIVALEN/TIDAK SAMA

Contoh hukum komutatif:

p ʌ q ≡ q ʌ p

p v q ≡ q v p

2. Hukum asosiatif

Ciri–cirinya hukum asosiatif:

1. Mengacu pada pemindahan tanda kurung dan tidak mengubah nilai kebenarannya.

Contoh :
( ( A /\ B ) /\ C ) ≡ ( A /\ ( B /\ C ) )

2. Biasanya terjadi pada perangkai yang sama ( Disjungsi, Konjungsi dan Ekuivalensi )

Contoh:
( ( A \/ B ) \/ C ) ≡ ( A \/ ( B \/ C ) )

3. Pengecualian pada Perangkai Implikasi ( → )

Contoh:
( ( A → B ) → C ) TIDAK SAMA ( A → ( B → C ) )

4. Jika perangkainya berbeda pada satu ekspresi logika tidak bisa memindahkan tanda kurung dengan sembarangan.

Contoh:
( ( A ^ B ) v C ) dan ( A ^ ( B v C ) ) TIDAK SAMA

Contoh hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r ≡ p v (q v r)

3. Hukum distributif

p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)

4. Hukum identitas

p ʌ T ≡ p

p v F ≡ p

5. Hukum ikatan (dominasi)

p v T ≡ T

p v F ≡ F

6. Hukum negasi

p v ~p ≡ T

p ʌ ~p ≡ F

7. Hukum negasi ganda (involusi)

~(~p) ≡ p

8. Hukum idempoten

p ʌ p ≡ p

p v p ≡ p

9. Hukum de morgan

~( p ʌ q ) ≡ ~p v ~q

~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q

10. Hukum penyerapan (absorpsi)

p v (p ʌ q) ≡ p

p ʌ (p v q) ≡ p

11. Hukum T and F

~T ≡ F

~F ≡ T

12. Hukum implikasi ke and/or

p => q ≡ ~p v q

Silahkan buktikan dengan tabel kebenaran bahwa ke-12 hukum ekuivalen diatas memang benar-benar ekuivalen. Anda tidak perlu menghafal hukum-hukum ekuivalensi diatas. Cukup anda pahami hukum-hukum ekuivalensi di atas dengan memberikan perhatian lebih kepada hukum komutatif, hukum asosiatif, dan hukum de morgan.

Cara membuktikan ekuivalensi p ≡ q

1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
2. Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yangada), sehingga didapat P.
3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R

Sebagai aturan yang tidak baku, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi, jika P yang lebih kompleks maka aturan (1) yang diterapkankan. Sebaliknya jika Q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika P dan Q sama-sama kompleks.

Penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dalam ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan jalan penurunan dengan memanfaatkan 12 belas hukum-hukum ekuivalensi logika di atas.

Dengan memanfaatkan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan

Contoh-contoh soal ekuivalensi:

1. Buktikan pernyataan ekuivalensi berikut!

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) ≡ ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)

~p ʌ (q v ~q)

~p ʌ T

~p -------(terbukti!)

2. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan berikut ekuivalensi.

~(p v q) ≡ (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran untuk mencari ~(p v q) dan (~p ʌ ~q)

P	Q	~P	~Q	P \/ Q	~(P \/ Q)	(~P /\ ~Q)
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	B

Dari tabel berwarna hijau di atas, dapat diketahui bahwa kedua pernyataan tersebut bersifat ekuivalensi:

~(P \/ Q) ≡ (~P /\ ~Q)

Demikianlah materi tentang ekuivalensi sebagai penutup materi logika matematika yang merupakan materi pertama dalam mata kuliah logika inforamatika di jurusan teknik informatika.

Demikianlah artikel tentang logika matematika materi dasar ekuivalensi lengkap. Materi selanjutnya dalam mata kuliah logika informatika adalah materi tentang himpunan, relasi dan fungsi.Semoga bermanfaat!